平面 $R^2$ 上において、以下の2つの直線についてベクトル方程式を求める。 (1) 原点と点 $P(-2, 3)$ を通る直線 (2) 2点 $P(3, -1)$、$Q(4, 5)$ を通る直線

1. 問題の内容

平面 $R^2$ 上において、以下の2つの直線についてベクトル方程式を求める。

(1) 原点と点 $P(-2, 3)$ を通る直線

(2) 2点 $P(3, -1)$、$Q(4, 5)$ を通る直線

2. 解き方の手順

(1) 原点と点 $P(-2, 3)$ を通る直線

原点を $O$、位置ベクトルを $\vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ とする。

この直線上の任意の点 $X$ の位置ベクトル $\vec{x}$ は、実数 $t$ を用いて $\vec{x} = t\vec{p}$ と表せる。

よって、求めるベクトル方程式は

$\vec{x} = t \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) 2点 $P(3, -1)$、$Q(4, 5)$ を通る直線

点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$、点 $Q$ の位置ベクトルを $\vec{q} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ とする。

この直線上の任意の点 $X$ の位置ベクトル $\vec{x}$ は、実数 $t$ を用いて

$\vec{x} = \vec{p} + t(\vec{q} - \vec{p})$

と表せる。

$\vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

よって、求めるベクトル方程式は

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{x} = t \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) $\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$