関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$ が $x=1$ で極小値 $1$ をとるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$ が $x=1$ で極小値 $1$ をとるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が $x=1$ で極小値 $1$ をとるので、次の2つの条件が成り立つ。

* $f(1) = 1$

* $f'(1) = 0$

まず、$f(1) = 1$ より、

$1^3 + a(1)^2 + b(1) + 4 = 1$

$1 + a + b + 4 = 1$

$a + b = -4$ ...(1)

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(1) = 0$ より、

$3(1)^2 + 2a(1) + b = 0$

$3 + 2a + b = 0$

$2a + b = -3$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(2a + b) - (a + b) = -3 - (-4)$

$a = 1$

(1) に $a = 1$ を代入して、

$1 + b = -4$

$b = -5$

したがって、$a = 1$, $b = -5$ である。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -5$