関数 $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx - 1$ が、$x=1$ で極大値 $1$ をとるように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx - 1$ が、$x=1$ で極大値 $1$ をとるように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: 極大値の条件**

$f(x)$ が $x=1$ で極大値 $1$ をとるので、次の2つの条件が成り立ちます。

* $f(1) = 1$

* $f'(1) = 0$

* **ステップ2: $f(1)=1$ の計算**

関数 $f(x)$ に $x=1$ を代入すると、

$f(1) = -1^3 + a(1)^2 + b(1) - 1 = -1 + a + b - 1 = a + b - 2$

$f(1) = 1$ より、

$a + b - 2 = 1$

$a + b = 3$ ...(1)

* **ステップ3: $f'(x)$ の計算**

$f(x)$ を微分すると、

$f'(x) = -3x^2 + 2ax + b$

* **ステップ4: $f'(1)=0$ の計算**

$f'(x)$ に $x=1$ を代入すると、

$f'(1) = -3(1)^2 + 2a(1) + b = -3 + 2a + b$

$f'(1) = 0$ より、

$2a + b - 3 = 0$

$2a + b = 3$ ...(2)

* **ステップ5: 連立方程式を解く**

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(2)-(1)より、

$(2a+b)-(a+b) = 3-3$

$a = 0$

(1)に$a=0$を代入すると

$0 + b = 3$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = 3$