関数 $f(x) = x^3 + px^2 + 4x - 3$ が単調に増加するときの、$p$ の値の範囲を求める問題です。選択肢として、ア: $-2\sqrt{3} \le p \le 2\sqrt{3}$ と イ: $-4\sqrt{3} \le p \le 4\sqrt{3}$ が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + px^2 + 4x - 3$ が単調に増加するときの、$p$ の値の範囲を求める問題です。選択肢として、ア: $-2\sqrt{3} \le p \le 2\sqrt{3}$ と イ: $-4\sqrt{3} \le p \le 4\sqrt{3}$ が与えられています。

2. 解き方の手順

関数が単調増加するための条件は、$f'(x) \ge 0$ が常に成り立つことです。まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 + 2px + 4$

次に、$f'(x) \ge 0$ がすべての $x$ で成り立つ条件を考えます。これは、$f'(x)$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ となることと同値です。なぜなら、$f'(x)$ は下に凸な2次関数なので、常に0以上であるためには、$x$軸と交わらないか、接する必要があるからです。

判別式 $D$ は次のように計算できます。

$D = (2p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4p^2 - 48$

したがって、$4p^2 - 48 \le 0$ が成り立つ必要があります。これを解きます。

$4p^2 \le 48$

$p^2 \le 12$

$-\sqrt{12} \le p \le \sqrt{12}$

$-2\sqrt{3} \le p \le 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$p$ の値の範囲は $-2\sqrt{3} \le p \le 2\sqrt{3}$ です。したがって、答えはアです。