直角三角形ABCにおいて、角Aが直角であり、点Aから斜辺BCに垂線ADが引かれています。$BD = 2$ cm, $AD = 4$ cm のとき、$CD$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、角Aが直角であり、点Aから斜辺BCに垂線ADが引かれています。$BD = 2$ cm, $AD = 4$ cm のとき、$CD$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDにおいて、ピタゴラスの定理より、$AB^2 = AD^2 + BD^2$ が成り立ちます。

$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

したがって、$AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ となります。

次に、三角形ABCは直角三角形なので、面積について考えると、$AB \times AC = BC \times AD$ が成り立ちます。

ここで、$BC = BD + CD = 2 + CD$ です。

また、三角形ABDと三角形CADは相似なので、$BD : AD = AD : CD$ が成り立ちます。

つまり、$2 : 4 = 4 : CD$ となり、$2CD = 16$ より、$CD = 8$ cmとなります。

また別の方法として、三角形ABCにおいて、$AB^2 = BD \times BC$が成り立ちます。

$20 = 2 \times BC$ より、$BC = 10$ です。

よって、$CD = BC - BD = 10 - 2 = 8$ cmとなります。

3. 最終的な答え

$CD = 8$