関数 $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 7$ の区間 $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 7$ の区間 $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-6x^2 + 6x + 12 = 0$

$-6(x^2 - x - 2) = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

区間 $1 \le x \le 3$ に含まれるのは $x = 2$ です。

区間の端点 $x = 1, 3$ と $f'(x) = 0$ となる $x = 2$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(1) = -2(1)^3 + 3(1)^2 + 12(1) - 7 = -2 + 3 + 12 - 7 = 6$

$f(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) - 7 = -16 + 12 + 24 - 7 = 13$

$f(3) = -2(3)^3 + 3(3)^2 + 12(3) - 7 = -54 + 27 + 36 - 7 = 2$

$f(1) = 6, f(2) = 13, f(3) = 2$ より、最大値は $13$ ($x = 2$)、最小値は $2$ ($x = 3$) です。

3. 最終的な答え

最大値: 13 ($x = 2$)

最小値: 2 ($x = 3$)