与えられた数学の問題は以下の通りです。 1. 合同式 $2025 \equiv x \pmod{7}$ を満たす、$0 \le x < 7$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の通りです。

1. 合同式 $2025 \equiv x \pmod{7}$ を満たす、$0 \le x < 7$ を求める。

2. 合同式 $20250502 \equiv x \pmod{31}$ を満たす、$0 \le x < 31$ を求める。

3. 1から30までの数で、完全数をすべて求める。

4. 1から30までの数で、過剰数をすべて求める。

5. $n=1$ から 10 までのメルセンヌ数 $2^n-1$ のうち、素数となるものを求める。

6. 2から数えて10番目の素数を求める。

7. 200までの数の中に素数はいくつあるか求める。

8. 7番目の双子素数を求める。

2. 解き方の手順

1. $2025 \equiv x \pmod{7}$

$2025 = 7 \times 289 + 2$ であるから、

$2025 \equiv 2 \pmod{7}$

したがって、$x=2$

2. $20250502 \equiv x \pmod{31}$

$20250502 = 31 \times 653242 + 0$ であるから、

$20250502 \equiv 0 \pmod{31}$

したがって、$x=0$

3. 完全数とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身に等しい自然数のことです。

1から30までの数の中で完全数は、6と28です。

6の約数(自身を除く)は1,2,3で、1+2+3=6

28の約数(自身を除く)は1,2,4,7,14で、1+2+4+7+14=28

4. 過剰数とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身より大きい自然数のことです。

1から30までの過剰数は、12, 18, 20, 24, 30です。

12: 1+2+3+4+6=16>12

18: 1+2+3+6+9=21>18

20: 1+2+4+5+10=22>20

24: 1+2+3+4+6+8+12=40>24

30: 1+2+3+5+6+10+15=42>30

5. メルセンヌ数は $M_n = 2^n - 1$ で表されます。

$n=1$ から $n=10$ までのメルセンヌ数を計算します。

$M_1 = 2^1 - 1 = 1$

$M_2 = 2^2 - 1 = 3$

$M_3 = 2^3 - 1 = 7$

$M_4 = 2^4 - 1 = 15$

$M_5 = 2^5 - 1 = 31$

$M_6 = 2^6 - 1 = 63$

$M_7 = 2^7 - 1 = 127$

$M_8 = 2^8 - 1 = 255$

$M_9 = 2^9 - 1 = 511$

$M_{10} = 2^{10} - 1 = 1023$

これらのうち、素数であるものは 3, 7, 31, 127 です。

6. 素数を小さい順に列挙すると、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

2から数えて10番目の素数は29です。

7. 200までの素数は、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

全部で46個あります。

8. 双子素数を小さい順に列挙すると、(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61),...

7番目の双子素数は (59, 61) です。

3. 最終的な答え

1. 2

2. 0

3. 6, 28

4. 12, 18, 20, 24, 30

5. 3, 7, 31, 127

6. 29

7. 46

8. (59, 61)