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自然数 $m, n$ に関する次の2つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げてください。 (1) 和 $m+n$ は奇数 $\Rightarrow$ 積 $mn$ は偶数 (2) 和 $m+n$ は偶数 $\Rightarrow$ 積 $mn$ は奇数

数論命題真偽判定整数の性質偶数奇数
2025/6/8

1. 問題の内容

自然数 m,nm, n に関する次の2つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げてください。
(1) 和 m+nm+n は奇数 ⇒\Rightarrow 積 mnmn は偶数
(2) 和 m+nm+n は偶数 ⇒\Rightarrow 積 mnmn は奇数

2. 解き方の手順

(1) 和 m+nm+n が奇数であるとき、mm と nn のどちらか一方が奇数、もう一方が偶数です。
mm が奇数で nn が偶数の場合、mnmn は偶数になります。
mm が偶数で nn が奇数の場合も、mnmn は偶数になります。
したがって、和 m+nm+n が奇数ならば、積 mnmn は偶数であるため、命題は真です。
(2) 和 m+nm+n が偶数であるとき、mm と nn が両方とも偶数であるか、または両方とも奇数です。
mm と nn が両方とも偶数の場合、mnmn は偶数になります。
mm と nn が両方とも奇数の場合、mnmn は奇数になります。
したがって、和 m+nm+n が偶数であっても、積 mnmn が奇数とは限りません。
例えば、m=2m=2, n=2n=2 とすると、m+n=4m+n = 4 は偶数ですが、mn=4mn = 4 は偶数です。
したがって、命題は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 真
(2) 偽. 反例：m=2m=2, n=2n=2

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