素数が無限に存在することを証明する問題です。

1. 問題の内容

素数が無限に存在することを証明する問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、背理法を用いて証明します。

まず、素数が有限個しかないと仮定します。

つまり、素数が $p_1, p_2, ..., p_n$ の $n$ 個だけ存在すると仮定します。

次に、これらの素数を全て掛け合わせて1を足した数 $N$ を考えます。

$N = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1$

この数 $N$ について、以下の2つの可能性が考えられます。

(1) $N$ が素数である場合:

このとき、$N$ は $p_1, p_2, ..., p_n$ のいずれとも異なる新たな素数であることになり、仮定に矛盾します。

(2) $N$ が合成数である場合:

$N$ は合成数なので、少なくとも1つの素数 $p$ で割り切れるはずです。

ここで、$p$ が $p_1, p_2, ..., p_n$ のいずれかであると仮定すると、$p$ は $p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n$ を割り切ります。

また、$p$ は $N$ を割り切るので、$N - (p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n) = 1$ も割り切る必要があります。

しかし、これは $p$ が素数であることに矛盾します (1は素数で割り切れない)。

したがって、$p$ は $p_1, p_2, ..., p_n$ のいずれとも異なる素数であることになり、これも仮定に矛盾します。

いずれの場合でも、素数が有限個であるという仮定から矛盾が生じます。

したがって、素数は無限に存在します。

3. 最終的な答え

素数は無限に存在する。