三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をDとする。このとき、等式 $2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をDとする。このとき、等式 $2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

座標平面上に三角形ABCを配置し、各頂点の座標を定める。

点B, Cの座標をそれぞれ B($b$, 0), C($c$, 0) とし、点Aの座標を A($x$, $y$) とする。

点Dは辺BCを1:2に内分するので、点Dの座標は

$D = \frac{2B + C}{1+2} = \frac{2(b,0)+(c,0)}{3} = (\frac{2b+c}{3},0)$

となる。

次に、問題の等式に含まれる各辺の長さを座標を用いて表す。

$AB^2 = (x-b)^2 + y^2 = x^2 - 2bx + b^2 + y^2$

$AC^2 = (x-c)^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

$AD^2 = (x-\frac{2b+c}{3})^2 + y^2 = x^2 - \frac{2(2b+c)}{3}x + (\frac{2b+c}{3})^2 + y^2$

$BD^2 = (b-\frac{2b+c}{3})^2 + 0^2 = (\frac{b-c}{3})^2 = \frac{(b-c)^2}{9}$

次に、与えられた等式の左辺を計算する。

$2AB^2 + AC^2 = 2(x^2 - 2bx + b^2 + y^2) + (x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = 3x^2 - 4bx - 2cx + 2b^2 + c^2 + 3y^2$

次に、与えられた等式の右辺を計算する。

$3(AD^2 + 2BD^2) = 3((x-\frac{2b+c}{3})^2 + y^2 + 2(\frac{b-c}{3})^2) = 3(x^2 - \frac{2(2b+c)}{3}x + \frac{(2b+c)^2}{9} + y^2 + \frac{2(b-c)^2}{9}) = 3x^2 - 2(2b+c)x + \frac{(4b^2+4bc+c^2) + 2(b^2-2bc+c^2)}{3} + 3y^2 = 3x^2 - (4b+2c)x + \frac{6b^2-4bc+3c^2}{3} + 3y^2=3x^2 - 4bx - 2cx + 2b^2 - \frac{4}{3}bc + c^2 + 3y^2$

$\frac{6b^2 -4bc+3c^2}{3} = 2b^2 - \frac{4}{3}bc +c^2$　　

$D(\frac{2b+c}{3},0)$ だから

$BD^2 = (b-\frac{2b+c}{3})^2 = (\frac{b-c}{3})^2 = \frac{b^2-2bc+c^2}{9}$

したがって

$3(AD^2 + 2BD^2) = 3((x-\frac{2b+c}{3})^2 + y^2 + 2\frac{(b-c)^2}{9}) = 3x^2 - 2(2b+c)x + \frac{(2b+c)^2}{3} + 3y^2 + \frac{2}{3}(b-c)^2 = 3x^2-4bx-2cx + \frac{4b^2+4bc+c^2+2b^2-4bc+2c^2}{3} + 3y^2 = 3x^2-4bx-2cx + \frac{6b^2+3c^2}{3} + 3y^2=3x^2-4bx-2cx+2b^2+c^2+3y^2$

ゆえに

$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$

3. 最終的な答え

$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つ。