与えられた曲線 $y = x^2 - 6x + 16$ について、以下の3つの接線を求めます。 (1) 曲線上の点 $(1, 11)$ から引いた接線 (2) 原点から曲線に引いた接線 (3) 曲線に接し、傾きが $-2$ である接線

1. 問題の内容

与えられた曲線 $y = x^2 - 6x + 16$ について、以下の3つの接線を求めます。

(1) 曲線上の点 $(1, 11)$ から引いた接線

(2) 原点から曲線に引いた接線

(3) 曲線に接し、傾きが $-2$ である接線

2. 解き方の手順

(1) 曲線上の点 $(1, 11)$ から引いた接線の方程式

まず、$y = x^2 - 6x + 16$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = 2x - 6$

点 $(1, 11)$ における接線の傾きは、$x = 1$ を $y'$ に代入して、

$y'(1) = 2(1) - 6 = -4$

接線の傾きは $-4$ であり、点 $(1, 11)$ を通るので、接線の方程式は

$y - 11 = -4(x - 1)$

$y = -4x + 4 + 11$

$y = -4x + 15$

(2) 原点から曲線に引いた接線の方程式

接点を $(t, t^2 - 6t + 16)$ とおきます。

この点における接線の傾きは $y' = 2t - 6$ です。

接線の方程式は、

$y - (t^2 - 6t + 16) = (2t - 6)(x - t)$

この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、$x = 0, y = 0$ を代入します。

$0 - (t^2 - 6t + 16) = (2t - 6)(0 - t)$

$-t^2 + 6t - 16 = -2t^2 + 6t$

$t^2 - 16 = 0$

$t = \pm 4$

$t = 4$ のとき、接点は $(4, 16 - 24 + 16) = (4, 8)$、傾きは $2(4) - 6 = 2$ なので、接線は $y - 8 = 2(x - 4)$ より $y = 2x$

$t = -4$ のとき、接点は $(-4, 16 + 24 + 16) = (-4, 56)$、傾きは $2(-4) - 6 = -14$ なので、接線は $y - 56 = -14(x + 4)$ より $y = -14x$

(3) 曲線に接し、傾きが $-2$ である接線の方程式

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きは $y' = 2t - 6$ です。

これが $-2$ に等しいので、$2t - 6 = -2$

$2t = 4$

$t = 2$

接点は $(2, 4 - 12 + 16) = (2, 8)$

接線の方程式は $y - 8 = -2(x - 2)$

$y = -2x + 4 + 8$

$y = -2x + 12$

3. 最終的な答え

(1) $y = -4x + 15$

(2) $y = 2x$, $y = -14x$

(3) $y = -2x + 12$