三角形ABCと点Pが $3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB} + 5\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を満たしているとき、以下の問いに答える。 (1) 点Pはどのような位置にあるか。 (2) $\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$ の面積の比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pが $3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB} + 5\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を満たしているとき、以下の問いに答える。

(1) 点Pはどのような位置にあるか。

(2) $\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$ の面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

始点をAに揃える。

$3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB} + 5\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ より

$3\overrightarrow{PA} + 4(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB}) + 5(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{PA} + 5\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$12\overrightarrow{AP} = 4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{12}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{4+5} \cdot \frac{4+5}{12} = \frac{9}{12} \cdot \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{9}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{9}$

線分BCを $5:4$ に内分する点をDとすると、$\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{9}$ となる。

したがって、$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$ となるので、点Pは線分ADを $3:1$ に内分する点である。

(2)

$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{12}$ より

$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$

$\triangle ABC$ の面積を S とすると

$\triangle PBC = \frac{3}{12}S = \frac{1}{4}S$

$\triangle PCA = \frac{4}{12}S = \frac{1}{3}S$

$\triangle PAB = \frac{5}{12}S$

したがって、$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = \frac{1}{4}:\frac{1}{3}:\frac{5}{12} = 3:4:5$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは、線分BCを $5:4$ に内分する点をDとすると、線分ADを $3:1$ に内分する点である。

(2) $\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = 3:4:5$