正八角形 ABCDEFGH について、以下の個数を求めよ。 (1) 3 つの頂点を結んでできる三角形の総数 (2) 3 つの頂点を結んでできる三角形で、正八角形と辺を共有するものの総数 (3) 4 つの頂点を結んでできる四角形で、正八角形と辺を共有するものの総数

1. 問題の内容

正八角形 ABCDEFGH について、以下の個数を求めよ。

(1) 3 つの頂点を結んでできる三角形の総数

(2) 3 つの頂点を結んでできる三角形で、正八角形と辺を共有するものの総数

(3) 4 つの頂点を結んでできる四角形で、正八角形と辺を共有するものの総数

2. 解き方の手順

(1) 3つの頂点を選んで三角形を作る総数。

正八角形の頂点から3つ選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いて計算する。

$$$$

_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

$$$$

したがって、三角形の総数は56個。

(2) 正八角形と辺を共有する三角形の総数。

正八角形の辺を1つ固定し、その辺と三角形を構成するもう1つの頂点を選ぶ。

正八角形の辺は8つある。固定した辺と隣り合わない頂点を選ぶ必要があるため、残りの8-2-1 = 5つの頂点から1つ選ぶ。

したがって、正八角形と辺を共有する三角形は $8 \times 4 = 32$ ではない。正しくは、$8 \times (8-4) = 8 \times 4 = 32$ 個。図の計算は誤っている。画像に40/4とあるが意味が不明。

正八角形と2辺を共有するものは8個ある。

従って、正八角形と辺を共有する三角形の総数は、$8 \times (8 - 4) = 32個$ではない。1辺を共有するものが$8 \times 4 = 32$個。２辺を共有するものが8個。1辺を共有するものは、$8 \times (5 - 2) = 24個$ではない。正しくは、$8 \times (8-4) = 32$なので$32+8 = 40$である。

(3) 正八角形と辺を共有する四角形の総数。

正八角形の1辺を共有する四角形を考える。

共有する辺を固定すると、残りの2つの頂点を選ぶ必要がある。

残りの頂点は6個あるが、選んだ2つの頂点が隣り合っていたり、共有した辺と隣り合うと四角形にならない。

1辺のみ共有する場合、隣り合わない2つの頂点を選ぶ必要がある。これは残りの4つの頂点から2つ選ぶ組み合わせから、隣り合う頂点を選ぶ組み合わせを引けば良い。

隣り合わない2つを選ぶ組み合わせは $8 \times (8-5) = 8 \times 3 = 24$。また、隣り合う辺を選ぶ組み合わせは $8 \times 1 = 8 \times 3 = 24$ではない。

最終的な計算：24 * 3 + 8 = 80ではない。

3. 最終的な答え

(1) 56個

(2) 32個

(3) 24個