右の図は、底面の半径が4cm、母線の長さが6cmの円錐の展開図である。 (1) この円錐の側面になるおうぎ形の中心角を求める。 (2) この円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

右の図は、底面の半径が4cm、母線の長さが6cmの円錐の展開図である。

(1) この円錐の側面になるおうぎ形の中心角を求める。

(2) この円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しい。底面の円周は $2\pi r = 2\pi(4) = 8\pi$ cmである。おうぎ形の半径は母線の長さである6cmなので、おうぎ形の円周は $2\pi(6) = 12\pi$ cm。中心角を$x$とすると、

$\frac{x}{360} = \frac{8\pi}{12\pi}$

$\frac{x}{360} = \frac{2}{3}$

$x = \frac{2}{3} \times 360 = 240$

したがって、おうぎ形の中心角は240度である。

(2) 円錐の表面積は、側面積と底面積の和で計算できる。

側面積は、おうぎ形の面積に等しい。おうぎ形の面積は $\pi r^2 \times \frac{中心角}{360}$ で求められるので、

側面積は $\pi (6^2) \times \frac{240}{360} = 36\pi \times \frac{2}{3} = 24\pi$ cm$^2$。

底面積は $\pi r^2 = \pi(4^2) = 16\pi$ cm$^2$。

円錐の表面積は $24\pi + 16\pi = 40\pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) 240

(2) 40