円錐の展開図が与えられており、以下の2つの問いに答えます。 (1) 側面のおうぎ形の中心角を求める。 (2) 円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

円錐の展開図が与えられており、以下の2つの問いに答えます。

(1) 側面のおうぎ形の中心角を求める。

(2) 円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) おうぎ形の弧の長さは、底面の円周に等しい。

底面の円周は $2 \pi \times 4 = 8 \pi$ cm。

おうぎ形の弧の長さは $2 \pi \times 6 \times \frac{\text{中心角}}{360}$ で表される。

よって、$8 \pi = 2 \pi \times 6 \times \frac{\text{中心角}}{360}$。

$\frac{\text{中心角}}{360} = \frac{8 \pi}{12 \pi} = \frac{2}{3}$

中心角 $= \frac{2}{3} \times 360 = 240$ 度。

(2) 円錐の表面積は、底面積 + 側面積 で求められる。

底面積 $= \pi \times 4^2 = 16 \pi$ cm$^2$

側面積 $= \pi \times 6^2 \times \frac{240}{360} = \pi \times 36 \times \frac{2}{3} = 24 \pi$ cm$^2$

表面積 $= 16 \pi + 24 \pi = 40 \pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) 240

(2) 40π