与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$ (2) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

(2) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を因数分解します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

まずは $a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくり出します。

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

(2)

与えられた式を因数分解します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

まずは $a$ について整理します。

$a^2(b-c) + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2$

$a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + b^2c - bc^2$

$= a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくり出します。

$= (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

または $(a-b)(c-b)(c-a)$

または $-(a-b)(b-c)(c-a)$

または $(a-b)(b-c)(a-c) * (-1)$

などでも正解です。

一般的に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の形にします。

答え：(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$, (2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

または (2) $(b-a)(c-b)(a-c)$