次の3つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx$ (2) $\int_{1}^{4} (x+1)^2 dx - \int_{1}^{4} (x-1)^2 dx$ (3) $\int_{-2}^{4} (x+2)(x-4) dx$

1. 問題の内容

次の3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx$

(2) $\int_{1}^{4} (x+1)^2 dx - \int_{1}^{4} (x-1)^2 dx$

(3) $\int_{-2}^{4} (x+2)(x-4) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx$ を計算します。

まず、$x^2 - x$ の不定積分を求めます。

$\int (x^2 - x) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (x^2 - x) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{0}^{2} = (\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2) - (\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$

(2) $\int_{1}^{4} (x+1)^2 dx - \int_{1}^{4} (x-1)^2 dx$ を計算します。

まず、積分をまとめます。

$\int_{1}^{4} ((x+1)^2 - (x-1)^2) dx = \int_{1}^{4} (x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1)) dx = \int_{1}^{4} (4x) dx$

次に、不定積分を求めます。

$\int 4x dx = 2x^2 + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} 4x dx = [2x^2]_{1}^{4} = 2(4)^2 - 2(1)^2 = 2(16) - 2(1) = 32 - 2 = 30$

(3) $\int_{-2}^{4} (x+2)(x-4) dx$ を計算します。

まず、被積分関数を展開します。

$(x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$

次に、不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 2x - 8) dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{4} (x^2 - 2x - 8) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x]_{-2}^{4} = (\frac{1}{3}(4)^3 - (4)^2 - 8(4)) - (\frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 - 8(-2)) = (\frac{64}{3} - 16 - 32) - (-\frac{8}{3} - 4 + 16) = (\frac{64}{3} - 48) - (-\frac{8}{3} + 12) = \frac{64}{3} - 48 + \frac{8}{3} - 12 = \frac{72}{3} - 60 = 24 - 60 = -36$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $30$

(3) $-36$