3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x - a + 3 = 0$ が実数解を1個だけ持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x - a + 3 = 0$ が実数解を1個だけ持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 3$ を考えます。この方程式が実数解を1つだけ持つということは、$y=f(x)$ のグラフと $y=a$ のグラフが1点で交わるということです。そのため、$f(x)$ の極値を調べる必要があります。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 3, -1$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |

|---|------|-----|------|----|------|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = -1$ のとき、極大値 $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 3 = -1 - 3 + 9 + 3 = 8$

$x = 3$ のとき、極小値 $f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 3 = 27 - 27 - 27 + 3 = -24$

したがって、$f(x)$ は $x=-1$ で極大値 $8$ を取り、$x=3$ で極小値 $-24$ を取ります。

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x - a + 3 = 0$ が実数解を1個だけ持つ条件は、$y = f(x)$ のグラフと $y=a$ のグラフが1点でのみ交わることです。これは、$a$ が極大値より大きいか、極小値より小さい場合です。

つまり、$a > 8$ または $a < -24$

3. 最終的な答え

$a < -24$ または $8 < a$