与えられた2つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ の真偽を集合を用いて調べる。 (1) 実数 $x$ に関する2つの条件 $p: -1 < x < 3$, $q: x > 2$ (2) 自然数 $m$ に関する2つの条件 $p: m$ は18の正の約数, $q: m$ は36の正の約数

1. 問題の内容

与えられた2つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ の真偽を集合を用いて調べる。

(1) 実数 $x$ に関する2つの条件 $p: -1 < x < 3$, $q: x > 2$

(2) 自然数 $m$ に関する2つの条件 $p: m$ は18の正の約数, $q: m$ は36の正の約数

2. 解き方の手順

(1) 条件 $p$ を満たす $x$ の集合を $P$、条件 $q$ を満たす $x$ の集合を $Q$ とする。

$P = \{x \mid -1 < x < 3\}$

$Q = \{x \mid x > 2\}$

$P$ が $Q$ の部分集合かどうかを調べる。数直線で考えると、$P$ の範囲の一部は $Q$ に含まれない。例えば、$x = 0$ は $-1 < x < 3$ を満たすが、$x > 2$ は満たさない。したがって、$P \subset Q$ は成り立たない。よって、命題 $p \implies q$ は偽である。反例は $x = 0$ など。

(2) 条件 $p$ を満たす $m$ の集合を $P$、条件 $q$ を満たす $m$ の集合を $Q$ とする。

$18$ の正の約数は $1, 2, 3, 6, 9, 18$ なので、 $P = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$

$36$ の正の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ なので、$Q = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

$P$ が $Q$ の部分集合かどうかを調べる。$P$ のすべての要素は $Q$ に含まれているので、$P \subset Q$ が成り立つ。

よって、命題 $p \implies q$ は真である。

3. 最終的な答え

(1) 偽。反例：$x=0$

(2) 真