与えられた式 $(x+y+z)(yz+zx+xy) - xyz$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(yz+zx+xy) - xyz$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、 $(x+y+z)(yz+zx+xy)$ を展開します。

$x(yz+zx+xy) = xyz + x^2z + x^2y$

$y(yz+zx+xy) = y^2z + xyz + xy^2$

$z(yz+zx+xy) = yz^2 + z^2x + xyz$

これらを足し合わせると、

$(x+y+z)(yz+zx+xy) = xyz + x^2z + x^2y + y^2z + xyz + xy^2 + yz^2 + z^2x + xyz$

$= 3xyz + x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2$

次に、この結果から$xyz$を引きます。

$3xyz + x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2 - xyz = 2xyz + x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2$

この式を並び替えると、

$x^2y + x^2z + xy^2 + 2xyz + xz^2 + y^2z + yz^2$

となります。さらに、この式を因数分解します。

$x^2(y+z) + x(y^2+2yz+z^2) + yz(y+z) = x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z) = (y+z)(x^2 + x(y+z) + yz)$

$(y+z)(x^2 + xy + xz + yz) = (y+z)[x(x+y)+z(x+y)] = (y+z)(x+y)(x+z)$

したがって、 $(x+y)(y+z)(z+x)$となります。

3. 最終的な答え

$(x+y)(y+z)(z+x)$