不等式 $ |x| - |x-1| < x - 1 $ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x| - |x-1| < x - 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

(i) $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = -x + 1$ より、与えられた不等式は

$-x - (-x + 1) < x - 1$

$-x + x - 1 < x - 1$

$-1 < x - 1$

$0 < x$

これは $x < 0$ に矛盾するので、解なし。

(ii) $0 \leq x < 1$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = -x + 1$ より、与えられた不等式は

$x - (-x + 1) < x - 1$

$x + x - 1 < x - 1$

$2x - 1 < x - 1$

$x < 0$

これは $0 \leq x < 1$ に矛盾するので、解なし。

(iii) $x \geq 1$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-1| = x-1$ より、与えられた不等式は

$x - (x - 1) < x - 1$

$x - x + 1 < x - 1$

$1 < x - 1$

$2 < x$

したがって、$x > 2$。これは $x \geq 1$ を満たします。

3. 最終的な答え

$x > 2$