不等式 $|x| + 2|x-1| < x$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $|x| + 2|x-1| < x$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、$x$ の範囲を場合分けして考える。

(i) $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ であるから、不等式は

$-x + 2(1-x) < x$

$-x + 2 - 2x < x$

$2 < 4x$

$\frac{1}{2} < x$

これは、$x < 0$ と矛盾するので、解なし。

(ii) $0 \le x < 1$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ であるから、不等式は

$x + 2(1-x) < x$

$x + 2 - 2x < x$

$2 < 2x$

$1 < x$

これは、$0 \le x < 1$ と矛盾するので、解なし。

(iii) $x \ge 1$ のとき、 $|x| = x$ かつ $|x-1| = x-1$ であるから、不等式は

$x + 2(x-1) < x$

$x + 2x - 2 < x$

$3x - 2 < x$

$2x < 2$

$x < 1$

これは、$x \ge 1$ と矛盾するので、解なし。

したがって、不等式 $|x| + 2|x-1| < x$ を満たす $x$ は存在しない。

3. 最終的な答え

解なし