不等式 $|2x + 1| \le |2x - 1| + x$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|2x + 1| \le |2x - 1| + x$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値記号があるので、場合分けをして考えます。

(1) $x < -\frac{1}{2}$ のとき

$2x + 1 < 0$ かつ $2x - 1 < 0$ なので、不等式は

$-(2x + 1) \le -(2x - 1) + x$

$-2x - 1 \le -2x + 1 + x$

$-1 \le 1 + x$

$x \ge -2$

この範囲と $x < -\frac{1}{2}$ の共通範囲は $-2 \le x < -\frac{1}{2}$ です。

(2) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ のとき

$2x + 1 \ge 0$ かつ $2x - 1 < 0$ なので、不等式は

$2x + 1 \le -(2x - 1) + x$

$2x + 1 \le -2x + 1 + x$

$2x + 1 \le -x + 1$

$3x \le 0$

$x \le 0$

この範囲と $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ の共通範囲は $-\frac{1}{2} \le x \le 0$ です。

(3) $x \ge \frac{1}{2}$ のとき

$2x + 1 > 0$ かつ $2x - 1 \ge 0$ なので、不等式は

$2x + 1 \le 2x - 1 + x$

$2x + 1 \le 3x - 1$

$2 \le x$

$x \ge 2$

この範囲と $x \ge \frac{1}{2}$ の共通範囲は $x \ge 2$ です。

(1), (2), (3) を合わせると、$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$