与えられた式 $x^2 - y^2 + 2zx + 2yz + 2y - 2z - 1$ を $z$ で整理して因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - y^2 + 2zx + 2yz + 2y - 2z - 1$ を $z$ で整理して因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z$ について整理します。

$x^2 - y^2 + 2zx + 2yz + 2y - 2z - 1 = 2(x+y-1)z + (x^2 - y^2 + 2y - 1)$

次に、$x^2 - y^2 + 2y - 1$ の部分を因数分解します。

$x^2 - y^2 + 2y - 1 = x^2 - (y^2 - 2y + 1) = x^2 - (y - 1)^2$

これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形なので、

$x^2 - (y - 1)^2 = (x + (y - 1))(x - (y - 1)) = (x + y - 1)(x - y + 1)$

したがって、与えられた式は、

$2(x+y-1)z + (x+y-1)(x-y+1) = (x+y-1)[2z + (x-y+1)] = (x+y-1)(x-y+2z+1)$

3. 最終的な答え

$(x+y-1)(x-y+2z+1)$