$\frac{3}{3 - \sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a^2 - b^2 - a - b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{3}{3 - \sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき, $a^2 - b^2 - a - b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず, $\frac{3}{3 - \sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{3}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{6} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

ここで, $\sqrt{3}$ の近似値を求めます。 $1 < \sqrt{3} < 2$ であることはわかります。より正確に言うと, $1.7^2 = 2.89 < 3 < 3.24 = 1.8^2$ なので $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ です。さらに $1.73^2 = 2.9929 < 3 < 3.0276 = 1.74^2$ なので, $1.73 < \sqrt{3} < 1.74$ です。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ の値を評価します。

$\frac{3 + 1.73}{2} = \frac{4.73}{2} = 2.365$

$\frac{3 + 1.74}{2} = \frac{4.74}{2} = 2.37$

したがって, $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ の値は $2.365$ と $2.37$ の間にあるので, 整数部分は $2$ です。つまり $a = 2$ です。

小数部分 $b$ は $\frac{3 + \sqrt{3}}{2} - a = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} - 2 = \frac{3 + \sqrt{3} - 4}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ です。

$a^2 - b^2 - a - b = (a^2 - a) - (b^2 + b) = a(a - 1) - b(b + 1)$

$a(a - 1) = 2(2 - 1) = 2$

$b(b + 1) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + 1 \right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \left(\frac{\sqrt{3} - 1 + 2}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$a^2 - b^2 - a - b = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$