1, 2, 3, 4, 5 の数字をそれぞれ1回ずつ使って4桁の整数を作ります。このとき、3421以上の数はいくつあるかを求めます。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5 の数字をそれぞれ1回ずつ使って4桁の整数を作ります。このとき、3421以上の数はいくつあるかを求めます。

2. 解き方の手順

4桁の整数を千の位から順番に見ていき、条件を満たす数を数えます。

* **千の位が4か5の場合**

千の位が4か5の場合、残りの3つの位には1, 2, 3のうちのいずれかの数字が入ります。千の位の数字の選び方は2通りあり、残りの3つの数字の並べ方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

したがって、この場合は $2 \times 6 = 12$ 個の整数ができます。

* **千の位が3の場合**

* 百の位が5か4の場合

百の位が5のとき、残りの2つの位の数字の並べ方は $3 \times 2 = 6$ 通りです。

百の位が4のとき、

* 十の位が3以上の場合

十の位が3になることはありません。十の位が5のとき、一の位の並べ方は2通りです。

十の位が2の場合、一の位が1以上なら条件を満たすので、1になります。つまり3421だけ。

34xxのとき、千の位、百の位が決定しているので、残りは数字1,2,5の組み合わせです。

* 十の位が2の場合

一の位が1以上、つまり一の位が1の場合のみ3421以上になります。

十の位が5の場合、残りの2つ数字の並べ方は$2!=2*1=2$

したがって、この場合は $1+1 = 2$ 個の整数ができます。

* 百の位が4の場合

* 十の位が3以上の場合

3421より大きくなるためには、345x,343xはありえないので、

3451,3452があります。

* 十の位が2の場合

3421のみです。

* 十の位が５の場合

3451,3452の2個

数字は1,2,5

341x,342x,345x

$3412$, $3415$, $3421$, $3425$, $3451$, $3452$の６個

* 千の位が3の場合

百の位が4の時、$34xy$

十の位が2の時、$y=1$なので、$3421$となる

十の位が5の時、$3451$,$3452$の2つ

したがって、$3421$,$3451$,$3452$の3つ

全体としては$12+3=15$

千の位が3である場合を考えます。

* 35XXの形: 百の位は5で固定です。残りの2つの数字の並べ方は $3 \times 2 = 6$通り。

* 34XXの形:

* 345X: 残りの数字は1, 2 の2つ。 3451, 3452 の2通り。

* 342X: 残りの数字は1, 5の2つ。1の場合のみ3421より大きい。3425

* 341X: ダメ

合計 3通り

したがって、千の位が3のときは、3421以上の数は $6+2 =8$ 個できます。

千の位が4か5の場合と千の位が3の場合を合わせると、3421以上の数は $12+8=20個です。

3. 最終的な答え

20個