$\triangle ABC$において、$AB = 12$, $BC = 14$, $CA = 16$ である。辺 $BC$ 上に点 $D$ を、線分 $AD$ が $\angle BAC$ の二等分線となるようにとる。$\triangle ADC$ の外接円と辺 $AB$ の交点のうち、$A$ でないものを $E$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $BD$ を求めよ。 (2) 方べきの定理を用いて、$BD \cdot BC$ を求めよ。 (3) $BE$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB = 12$, $BC = 14$, $CA = 16$ である。辺 $BC$ 上に点 $D$ を、線分 $AD$ が $\angle BAC$ の二等分線となるようにとる。$\triangle ADC$ の外接円と辺 $AB$ の交点のうち、$A$ でないものを $E$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $BD$ を求めよ。

(2) 方べきの定理を用いて、$BD \cdot BC$ を求めよ。

(3) $BE$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 12:16 = 3:4$ である。

$BC = 14$ であるから、$BD = \frac{3}{3+4} \times 14 = \frac{3}{7} \times 14 = 6$ となる。

(2) 方べきの定理より、$BE \cdot BA = BD \cdot BC$ が成り立つ。よって、$BD \cdot BC$ は選択肢の中の $BE \cdot BA$ に対応する。

(3) (1) より $BD = 6$ であり、$BC = 14$ であるから、$BD \cdot BC = 6 \times 14 = 84$ である。

(2) より、$BE \cdot BA = BE \cdot 12 = 84$ であるから、$BE = \frac{84}{12} = 7$ となる。

3. 最終的な答え

$BD = 6$

$BD \cdot BC = BE \cdot BA$ (選択肢 1)

$BE = 7$