画像にある数学の問題は、絶対値、平方根の性質に関する穴埋め問題と、根号を含む式の簡略化問題です。具体的には以下の通りです。 問題1：絶対値と平方根の性質の穴埋め問題 (1) 絶対値の定義に基づき、$|a|$ の値を、$a \ge 0$ のときと、$a < 0$ のときで場合分けして答える。 (2) 平方根の性質に基づき、$\sqrt{a^2}$ の値を、$a \ge 0$ のときと、$a < 0$ のときで場合分けして答える。 (3) (1), (2) の結果から、$\sqrt{a^2}$ の値を答える。 問題2：根号を含む式の簡略化 (1) $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ を簡略化する。 (2) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$ を簡略化する。 (3) $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ を簡略化する。 (4) $\sqrt{4 + \sqrt{2} + \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}$ を簡略化する。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題は、絶対値、平方根の性質に関する穴埋め問題と、根号を含む式の簡略化問題です。具体的には以下の通りです。

問題1：絶対値と平方根の性質の穴埋め問題

(1) 絶対値の定義に基づき、$|a|$ の値を、$a \ge 0$ のときと、$a < 0$ のときで場合分けして答える。

(2) 平方根の性質に基づき、$\sqrt{a^2}$ の値を、$a \ge 0$ のときと、$a < 0$ のときで場合分けして答える。

(3) (1), (2) の結果から、$\sqrt{a^2}$ の値を答える。

問題2：根号を含む式の簡略化

(1) $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ を簡略化する。

(2) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$ を簡略化する。

(3) $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ を簡略化する。

(4) $\sqrt{4 + \sqrt{2} + \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}$ を簡略化する。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 絶対値の定義より、$a \ge 0$ のとき $|a| = a$, $a < 0$ のとき $|a| = -a$。

(2) $\sqrt{a^2}$ について、$a \ge 0$ のとき $\sqrt{a^2} = a$, $a < 0$ のとき $\sqrt{a^2} = -a$。

(3) (1)と(2)より、$\sqrt{a^2}$ は絶対値 $|a|$ と等しい。したがって、$\sqrt{a^2} = |a|$

問題2：

(1) $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$ は簡単にできないようです。

(3) $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 7 + 4\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$。よって、$\sqrt{4 + \sqrt{2} + \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}} = \sqrt{4 + \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1$

3. 最終的な答え

問題1：

(1)

$a \ge 0$ のとき： $a$

$a < 0$ のとき： $-a$

(2)

$a \ge 0$ のとき： $a$

$a < 0$ のとき： $-a$

(3) $|a|$

問題2：

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$

(3) $7 + 4\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{2} + 1$