三角形ABCにおいて、線分ADとCEの交点をPとし、線分BPとACの交点をQとする。このとき、三角形ABCの重心と内心の位置について問われている。また、チェバの定理、メネラウスの定理を用いて線分の比を求め、最後に三角形BPRと三角形ABCの面積比を求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分ADとCEの交点をPとし、線分BPとACの交点をQとする。このとき、三角形ABCの重心と内心の位置について問われている。また、チェバの定理、メネラウスの定理を用いて線分の比を求め、最後に三角形BPRと三角形ABCの面積比を求める問題。

2. 解き方の手順

(2)

* 重心は三角形の中線（頂点とその対辺の中点を結ぶ線）の交点であり、内心は三角形の内角の二等分線の交点である。ADとCEは中線ではないので、重心は線分AD上にはない。内心は角の二等分線の交点なのでAD上にある可能性はある。Pが三角形ADCの内部にあるので、重心は三角形PDCの内部にある。内心は三角形PDCの内部にあるとは限らない。したがって、重心は△PDCの内部にあり、内心は線分AD上にある。

よって、解答は③

* チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

ここで、AD, CEは中線なので $\frac{AD}{DB} = 1$, $\frac{CE}{EA} = 1$ であるから、$\frac{AQ}{QC} = 1$

よって、$AQ = QC$

よって、$QA = 1$ , $CQ=1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{1} = 1$

オカ = 1

* 次に、メネラウスの定理より、

三角形ABDと直線CEにおいて、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BP}{PD} \cdot \frac{DC}{CA} = 1$

$\frac{AE}{EB} = 1$ であるから、$\frac{BP}{PD} \cdot \frac{DC}{CA} = 1$

$AC = 2DC$ であるから、 $\frac{DC}{AC} = \frac{1}{2}$

よって、$\frac{BP}{PD} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BP}{PD} = 2$

よって、$\frac{DP}{PB} = \frac{1}{2}$

よって、$\frac{DP}{PA}$を求めたい.

$\frac{DP}{PA}$は問題文にヒントがないので、不明。とりあえずここは保留。

(3)

* 辺ACの中点をMとする。線分ADと線分BMの交点をRとする。

メネラウスの定理を用いる。

三角形ACDと直線BMにおいて、

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DR}{RA} = 1$

$\frac{AM}{MC} = 1$

$\frac{CB}{BD} = \frac{2}{1} = 2$

よって、 $1 \cdot 2 \cdot \frac{DR}{RA} = 1$

$\frac{DR}{RA} = \frac{1}{2}$

よって、$\frac{AR}{RD} = \frac{2}{1} = 2$

サ=2, シ=1

$\frac{PR}{AD}$を求めたい.

$AR + RD = AD$

$\frac{AR}{RD} = 2$ より、 $AR = 2RD$

$2RD + RD = AD$

$3RD = AD$

$RD = \frac{1}{3}AD$

また、

$AR = \frac{2}{3}AD$

$AD = AR + RP + PD$

$\frac{PR}{AD} = ?$

先程、$\frac{DP}{PA}$がわからないので、保留にしていた。

$\frac{AR}{RD}=2$ を使う.

$AR = \frac{2}{3}AD$

$RD = \frac{1}{3}AD$

$\frac{AD}{RD} = 3$ , $\frac{AD}{AR} = \frac{3}{2}$

$PR = AP - AR = AP - \frac{2}{3}AD$

$\frac{DP}{PA} = x$ とする。

$AD = AP + PD = AP + xPA = (1+x)PA$

$\frac{DP}{AD} = \frac{x}{1+x}$ , $\frac{AP}{AD} = \frac{1}{1+x}$

$PR = AP - AR = \frac{1}{1+x}AD - \frac{2}{3}AD = (\frac{1}{1+x} - \frac{2}{3})AD$

$\frac{PR}{AD} = \frac{1}{1+x} - \frac{2}{3} = \frac{3-2(1+x)}{3(1+x)} = \frac{1-2x}{3(1+x)}$

メネラウスの定理により、$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BP}{PD} \cdot \frac{DC}{CA} = 1$ より、$\frac{DP}{PB} = \frac{1}{2}$

$\frac{DP}{BP} = \frac{1}{2}$ , $\frac{BP}{DB} = 2$

$PB = 2DP$

$AP = AD - DP = AD - \frac{1}{2}BP = AD - DP$

$\frac{DP}{AP} = x$ とすると $AP = \frac{DP}{x}$

$\frac{PD}{DA}= \frac{x}{x+1}$, $\frac{AP}{AD} = \frac{1}{1+x}$

$\frac{AR}{AD}=\frac{2}{3}$

$\frac{PR}{AD} = \frac{1-2x}{3(1+x)} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3*5}=\frac{1}{15}$

$\frac{PR}{AD} = \frac{1}{15}AD = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}=\frac{1}{15}$

$AD=AP+PD$. AD=3/2 AR

スセ = 5 , ソタ= 15

$\frac{(△BPRの面積)}{(△ABCの面積)}= ?$

* $\frac{AR}{AD} = \frac{2}{3}$

$\frac{RD}{AD} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

エ = 3

オカ = 1

サ = 2, シ = 1

スセ = 5, ソタ = 15

$\frac{AR}{RD} = 2$

$\frac{PR}{AD} = \frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

残りは不明