3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求める問題です。

1. 問題の内容

3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める自然数を$n$とすると、以下の3つの条件が成り立ちます。

* $n \equiv 2 \pmod{3}$

* $n \equiv 1 \pmod{5}$

* $n \equiv 6 \pmod{7}$

まず、3と5と7の最小公倍数を求めます。3, 5, 7は互いに素なので、最小公倍数は$3 \times 5 \times 7 = 105$です。

次に、$n = 105k + x$とおきます。$x$は条件を満たす最小の数であり、$n \equiv 2 \pmod{3}$、$n \equiv 1 \pmod{5}$、$n \equiv 6 \pmod{7}$を満たします。

小さい方から順に数を当てはめて探します。

1から順に当てはめていくと、条件を満たす最初の数は$x = 31$であることがわかります。

したがって、$n = 105k + 31$となります。

最小の数は$k=0$のときなので、$n = 31$です。

次に、3桁で最大の数を求めます。3桁の最大の数は999です。

$105k + 31 \le 999$となる最大の整数$k$を求めます。

$105k \le 999 - 31$

$105k \le 968$

$k \le \frac{968}{105} \approx 9.219$

よって、$k = 9$となります。

したがって、3桁で最大の数は$105 \times 9 + 31 = 945 + 31 = 976$です。

3. 最終的な答え

最小の数は31であり、3桁で最大の数は976である。