問題は、3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、3桁で最大のものを求めることです。

1. 問題の内容

問題は、3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、3桁で最大のものを求めることです。

2. 解き方の手順

まず、条件を満たす自然数を$N$とします。

$N$ は、ある整数 $a$, $b$, $c$ を用いて以下のように表すことができます。

$N = 3a + 2$

$N = 5b + 1$

$N = 7c + 6$

まず、$N = 3a + 2$ と $N = 5b + 1$ から、$3a + 2 = 5b + 1$ なので、$3a = 5b - 1$ となります。

この式を満たす整数 $a, b$ の組を求めます。$b=2$ のとき $a=3$ が成り立ちます。

よって、 $a = 3 + 5k$, $b = 2 + 3k$ （$k$ は整数）と表すことができます。

これを $N$ の式に代入すると、

$N = 3(3+5k) + 2 = 9 + 15k + 2 = 15k + 11$

または

$N = 5(2+3k) + 1 = 10 + 15k + 1 = 15k + 11$

次に、$N = 15k + 11$ と $N = 7c + 6$ から、$15k + 11 = 7c + 6$ なので、$15k + 5 = 7c$ となります。

$7c = 15k + 5$ は、$c = \frac{15k + 5}{7}$ と変形できます。

$c$ が整数であるためには、$15k + 5$ が 7 で割り切れる必要があります。

$15k + 5 \equiv k + 5 \equiv 0 \pmod{7}$ より、$k \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7}$ となります。

よって、$k = 7l + 2$ （$l$ は整数）と表すことができます。

これを $N$ の式に代入すると、

$N = 15(7l + 2) + 11 = 105l + 30 + 11 = 105l + 41$

$N$ は3桁の整数で最大のものなので、$N < 1000$ を満たす最大の $l$ を求めます。

$105l + 41 < 1000$

$105l < 959$

$l < \frac{959}{105} \approx 9.13$

$l$ は整数なので、最大の $l$ は 9 となります。

$N = 105(9) + 41 = 945 + 41 = 986$

3. 最終的な答え

986