3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小のものと3桁で最大のものを求める。

1. 問題の内容

3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小のものと3桁で最大のものを求める。

2. 解き方の手順

まず、3で割ると2余り、5で割ると1余る数を考える。

この条件を満たす数は、$5k+1 \equiv 2 \pmod{3}$となる整数$k$を探すことで見つけられる。

$5k+1 \equiv 2k+1 \equiv 2 \pmod{3}$なので、$2k \equiv 1 \pmod{3}$となる。$k \equiv 2 \pmod{3}$なので、$k=3m+2$ (mは整数)と表せる。

したがって、$5k+1 = 5(3m+2)+1 = 15m+11$ となる。

次に、$15m+11$が7で割ると6余る数を考える。

$15m+11 \equiv 6 \pmod{7}$

$15m \equiv -5 \pmod{7}$

$m \equiv -5 \cdot 15^{-1} \pmod{7}$

$15 \equiv 1 \pmod{7}$なので、

$m \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7}$となる。

よって、$m=7l+2$ (lは整数)と表せる。

したがって、$15m+11 = 15(7l+2)+11 = 105l+30+11 = 105l+41$となる。

これで、3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る数が$105l+41$と表せる。

最小の数は、$l=0$のとき、$105(0)+41=41$となる。

3桁で最大の数は、$105l+41 \le 999$を満たす最大のlを探す。

$105l \le 958$

$l \le 958/105 \approx 9.12$

よって、$l=9$が最大の整数となる。

$105(9)+41 = 945+41 = 986$

3. 最終的な答え

最小の数は41。

3桁で最大の数は986。