3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求める問題です。最小の数は7であることは問題文で与えられています。

1. 問題の内容

3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求める問題です。最小の数は7であることは問題文で与えられています。

2. 解き方の手順

求める数を $x$ とします。問題文より、以下の合同式が成り立ちます。

$x \equiv 2 \pmod{3}$

$x \equiv 1 \pmod{5}$

$x \equiv 6 \pmod{7}$

まず、$x \equiv 2 \pmod{3}$ かつ $x \equiv 1 \pmod{5}$ を満たす $x$ を求めます。

$x = 3a + 2$ とおきます。

これを $x \equiv 1 \pmod{5}$ に代入すると、$3a + 2 \equiv 1 \pmod{5}$ となります。

$3a \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$

$6a \equiv 8 \pmod{5}$

$a \equiv 3 \pmod{5}$

$a = 5b + 3$ とおけます。

これを $x = 3a + 2$ に代入すると、

$x = 3(5b + 3) + 2 = 15b + 9 + 2 = 15b + 11$

次に、$x \equiv 15b + 11 \pmod{105}$ が $x \equiv 6 \pmod{7}$ を満たすことを利用します。

$15b + 11 \equiv 6 \pmod{7}$

$15b \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7}$

$b \equiv 2 \pmod{7}$

よって、$b = 7c + 2$ とおけます。

これを $x = 15b + 11$ に代入すると、

$x = 15(7c + 2) + 11 = 105c + 30 + 11 = 105c + 41$

$x = 105c + 41$

$x$ が3桁で最大となるのは、$105c + 41 \leq 999$ を満たす最大の整数 $c$ を求めることでわかります。

$105c \leq 958$

$c \leq \frac{958}{105} \approx 9.12$

よって、$c = 9$ のとき、$x$ が最大となります。

$x = 105 \cdot 9 + 41 = 945 + 41 = 986$

3. 最終的な答え

3桁で最大の数は986です。