3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数は74であり、3桁で最大の数を求めよ。

1. 問題の内容

3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数は74であり、3桁で最大の数を求めよ。

2. 解き方の手順

3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る数を $x$ とします。

$x$ はある整数 $a, b, c$ を用いて、次のようにも表せます。

$x = 3a + 2$

$x = 5b + 1$

$x = 7c + 6$

$x = 74$ は条件を満たす最小の自然数なので、$x = 74 + 3 \times 5 \times 7 k$ も条件を満たします ($k$ は整数)。

なぜなら、3で割った余りは 74 と同じ、5で割った余りも74と同じ、7で割った余りも74と同じになるからです。

$x = 74 + 105k$ となります。

$x$ が3桁で最大になるような $k$ を求めます。

$74 + 105k \le 999$

$105k \le 999 - 74 = 925$

$k \le \frac{925}{105} \approx 8.8$

$k$ は整数なので、$k = 8$ のとき、$x$ は最大になります。

$x = 74 + 105 \times 8 = 74 + 840 = 914$

3. 最終的な答え

3桁で最大の数は914です。