$a+b=4$、$ab=2$のとき、$\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}$の値を求める。

1. 問題の内容

$a+b=4$、$ab=2$のとき、$\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a^2+b^2$の値を求める。

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$より、

$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

与えられた値$a+b=4$、$ab=2$を代入すると、

$a^2+b^2 = 4^2 - 2(2) = 16 - 4 = 12$

次に、$a^4+b^4$の値を求める。

$(a^2+b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$より、

$a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2(ab)^2$

$a^2+b^2=12$、$ab=2$を代入すると、

$a^4+b^4 = (12)^2 - 2(2)^2 = 144 - 2(4) = 144 - 8 = 136$

したがって、

$\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2} = \frac{136}{12} = \frac{34}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{34}{3}$