以下の3つの式を因数分解せよ。 (1) $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ (2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ (3) $81x^4 - 16y^4$

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解せよ。

(1) $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

(3) $81x^4 - 16y^4$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + 2x = A$ とおく。すると与式は、

$A(A-4) + 3 = A^2 - 4A + 3 = (A-1)(A-3)$

ここで、$A$ を $x^2 + 2x$ に戻すと、

$(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3) = (x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$

(2)

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を展開する順番を工夫する。

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5) + 15 = (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$

$x^2 - 8x = A$ とおくと、

$(A+7)(A+15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

ここで、$A$ を $x^2 - 8x$ に戻すと、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(3)

$81x^4 - 16y^4 = (9x^2)^2 - (4y^2)^2$

これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形なので、

$(9x^2 + 4y^2)(9x^2 - 4y^2) = (9x^2 + 4y^2)(3x + 2y)(3x - 2y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$

(2) $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(3) $(9x^2 + 4y^2)(3x + 2y)(3x - 2y)$