初項が3、公差が4である等差数列の、項数nまでの和が144となる時のnの値を求めよ。

1. 問題の内容

初項が3、公差が4である等差数列の、項数nまでの和が144となる時のnの値を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式を使う。

初項を$a$, 公差を$d$, 項数を$n$とすると、等差数列の和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

で表される。

問題文より、$a=3$, $d=4$, $S_n=144$であるから、

$144 = \frac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4)$

$144 = \frac{n}{2}(6 + 4n - 4)$

$144 = \frac{n}{2}(4n + 2)$

$144 = n(2n + 1)$

$144 = 2n^2 + n$

$2n^2 + n - 144 = 0$

この二次方程式を解く。

解の公式を用いると、

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-144)}}{2 \cdot 2}$

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1152}}{4}$

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1153}}{4}$

$n = \frac{-1 \pm 33.95}{4}$

$n$は自然数であるから、$n$は正の数でなければならない。

$n = \frac{-1 + 33.95}{4} = \frac{32.95}{4} = 8.2375$

または、$n = \frac{-1 - 33.95}{4} = \frac{-34.95}{4} = -8.7375$

$n$は整数である必要があるが、上記の結果はどちらも整数ではない。

与えられた問題の条件 ($S_n = 144$) が少し異なっている可能性があるので、計算ミスの可能性も考慮して、再度 $2n^2 + n - 144 = 0$ を解いてみる。因数分解を試みると、

$(2n+a)(n+b) = 2n^2 + (a+2b)n + ab = 2n^2 + n - 144$

この式から、$ab = -144$ であり、$a+2b = 1$ を満たす整数 a, b を探す。

$2n^2 + n - 144 = 0$

の解を求めてみると、$n \approx 8.24$ となる。整数にならない。

問題の記述に誤りがある可能性を考慮する。例えば、和が144ではなく143であった場合を検討してみる。

$2n^2 + n - 143 = 0$

$(2n+29)(n-11/2)=0$となり、nも整数解を持たない。

しかし、$2n^2 + n - 144 = 0$を解いてみると

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-144)}}{4}$

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1152}}{4}$

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1153}}{4}$

したがって、$2n^2 + n - 144 = 0$ に整数解はない。

問題文の「二文・9・32＝144」が何か関係あるのかも検討したが、特に意味はない。

3. 最終的な答え

等差数列の和が144となるような項数nは、整数では存在しない。