A君はP地点を毎時 $x$ kmの速さで出発し、Q地点へ向かいます。A君が出発してから20分後に、B君はQ地点を毎時5kmの速さで出発し、P地点へ向かいます。二人がすれ違ってから、A君は50分でQ地点に到着し、B君は1時間36分（96分）でP地点に到着しました。$x$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

A君はP地点を毎時 $x$ kmの速さで出発し、Q地点へ向かいます。A君が出発してから20分後に、B君はQ地点を毎時5kmの速さで出発し、P地点へ向かいます。二人がすれ違ってから、A君は50分でQ地点に到着し、B君は1時間36分（96分）でP地点に到着しました。$x$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、P地点からQ地点までの距離を$d$ kmとします。

二人が出会うまでにかかったA君の時間を$t$ 分とすると、B君は$t-20$ 分走っています。出会った地点からQ地点までの距離は、A君が50分で走る距離なので、$x \times \frac{50}{60} = \frac{5}{6}x$ kmです。同様に、出会った地点からP地点までの距離は、B君が96分で走る距離なので、$5 \times \frac{96}{60} = 8$ kmです。

したがって、$d = \frac{5}{6}x + 8$ となります。

二人が出会うまでにかかったA君の走った距離は、$x \times \frac{t}{60}$ kmです。

二人が出会うまでにかかったB君の走った距離は、$5 \times \frac{t-20}{60}$ kmです。

したがって、$x \times \frac{t}{60} + 5 \times \frac{t-20}{60} = d$ となります。

出会ってからA君がQ地点まで50分かかるので、$\frac{5}{6}x = 5 \times \frac{t-20}{60}$ です。

出会ってからB君がP地点まで96分かかるので、$8 = x \times \frac{t}{60}$ です。

上記の式を整理します。

$d = \frac{5}{6}x + 8$ ...(1)

$x \times \frac{t}{60} + 5 \times \frac{t-20}{60} = d$ ...(2)

$\frac{5}{6}x = 5 \times \frac{t-20}{60}$ ...(3)

$8 = x \times \frac{t}{60}$ ...(4)

(3)を変形すると、$\frac{x}{6} = \frac{t-20}{12}$、よって、$2x = t-20$ より、$t = 2x+20$ です。

(4)に代入すると、$8 = x \times \frac{2x+20}{60}$ より、$480 = 2x^2 + 20x$となり、$x^2 + 10x - 240 = 0$です。

これを解くと、$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 960}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{1060}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{265}}{2} = -5 \pm \sqrt{265}$です。

$x$ は正の値なので、$x = -5 + \sqrt{265}$ km/時です。

$\frac{5}{6} x = 5 \frac{t - 20}{60} = \frac{t-20}{12}$

$8 = \frac{xt}{60}$

$t = 2x + 20$ を代入すると、$8 = \frac{x (2x+20)}{60}$

$480 = 2x^2 + 20x$

$240 = x^2 + 10x$

$x^2 + 10x - 240 = 0$

$(x-10)(x+24) = 0$

$x= -24$ は不適なので $x=10$

すると $t = 40$

PQの距離は $\frac{5}{6}x + 8 = \frac{50}{6} + 8 = \frac{25}{3} + 8 = \frac{25 + 24}{3} = \frac{49}{3}$

Aは40分 + 50分で $\frac{90}{60} = \frac{3}{2}$ 時間走った。つまり10*1.5 = 15 km

3. 最終的な答え

$x=10$