実数 $x$ を変数とする。全体集合 $U = \{x \mid 0 \le x \le 10\}$ の部分集合 $A = \{x \mid 3 \le x \le 6\}$ と $B = \{x \mid 0 \le x < 5\}$ について、以下の集合を求める。 (1) $\overline{B}$ (2) $A \cup \overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

実数 $x$ を変数とする。全体集合 $U = \{x \mid 0 \le x \le 10\}$ の部分集合 $A = \{x \mid 3 \le x \le 6\}$ と $B = \{x \mid 0 \le x < 5\}$ について、以下の集合を求める。

(1) $\overline{B}$

(2) $A \cup \overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ は $U$ における $B$ の補集合である。つまり、$U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合である。$B = \{x \mid 0 \le x < 5\}$ であるから、$\overline{B} = \{x \mid 5 \le x \le 10\}$ となる。

(2) $A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の和集合である。$A = \{x \mid 3 \le x \le 6\}$ であり、$\overline{B} = \{x \mid 5 \le x \le 10\}$ であるから、$A \cup \overline{B} = \{x \mid 3 \le x \le 10\}$ となる。

(3) $\overline{A}$ は $U$ における $A$ の補集合である。$A = \{x \mid 3 \le x \le 6\}$ であるから、$\overline{A} = \{x \mid 0 \le x < 3 \text{ or } 6 < x \le 10\}$ となる。また、$\overline{B} = \{x \mid 5 \le x \le 10\}$ であった。$\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分であるから、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \mid 6 < x \le 10\}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{x \mid 5 \le x \le 10\}$

(2) $A \cup \overline{B} = \{x \mid 3 \le x \le 10\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x \mid 6 < x \le 10\}$