4人の男子A, B, C, Dと3人の女子P, Q, Rがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように3つのグループを作る方法は何通りあるか。
2025/5/4
1. 問題の内容
4人の男子A, B, C, Dと3人の女子P, Q, Rがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように3つのグループを作る方法は何通りあるか。
2. 解き方の手順
まず、7人を3つのグループに分ける全ての場合の数を考える。ただし、各グループに少なくとも1人ずつ入るようにする必要がある。
次に、男子と女子が少なくとも1人ずつ入るという条件を満たさない場合を考える。これは、3つのグループのうち少なくとも1つが男子だけ、あるいは女子だけになる場合である。これらの場合を全ての場合の数から引けば、求める答えが得られる。
グループ分けの方法を考える。全体の人数が7人なので、グループ分けは以下のパターンが考えられる。
(1) 1人, 1人, 5人
(2) 1人, 2人, 4人
(3) 1人, 3人, 3人
(4) 2人, 2人, 3人
(1) の場合： 7C1 * 6C1 * 5C5 / 2! = 7 * 6 * 1 / 2 = 21
(2) の場合： 7C1 * 6C2 * 4C4 = 7 * 15 * 1 = 105
(3) の場合： 7C1 * 6C3 * 3C3 / 2! = 7 * 20 * 1 / 2 = 70
(4) の場合： 7C2 * 5C2 * 3C3 / 2! = 21 * 10 * 1 / 2 = 105
合計の場合の数 = 21 + 105 + 70 + 105 = 301
次に、男子だけまたは女子だけのグループができる場合を考える。
(a) 1つのグループが男子だけの場合：
男子4人を3つのグループに分ける方法
1人, 1人, 2人 => 4C1 * 3C1 * 2C2 / 2! = 4 * 3 * 1 / 2 = 6
女子3人を残りの2つのグループに分ける方法 (少なくとも1人)
1人, 2人 => 3C1 * 2C2 = 3
この場合： 6 * 3 = 18
(b) 1つのグループが女子だけの場合：
女子3人を3つのグループに分ける方法
1人, 1人, 1人 => 1
男子4人を残りの2つのグループに分ける方法 (少なくとも1人)
1人, 3人 => 4C1 = 4
2人, 2人 => 4C2 / 2! = 3
この場合： 1 * (4 + 3) = 7
しかし、グループ分けのパターンが異なるので、場合分けをやり直す必要がある。
3つのグループに分ける方法で、各グループに少なくとも1人ずつ含む組み合わせを考える。まず、7人を3つのグループに分ける組み合わせを全列挙する。
(1) 4, 2, 1
(2) 3, 3, 1
(3) 3, 2, 2
次に、それぞれの場合について男子と女子が少なくとも1人含まれるように組み合わせる。
(1) 4, 2, 1の場合：
4人のグループに女子が含まれない場合: 男子4人、女子0人
2人のグループに女子が含まれない場合: 男子2人、女子0人
1人のグループに女子が含まれない場合: 男子1人、女子0人
上記のいずれかの条件を満たす組み合わせを除外する。
(2) 3, 3, 1の場合：
3人のグループに女子が含まれない場合: 男子3人、女子0人
1人のグループに女子が含まれない場合: 男子1人、女子0人
(3) 3, 2, 2の場合：
3人のグループに女子が含まれない場合: 男子3人、女子0人
2人のグループに女子が含まれない場合: 男子2人、女子0人
上記を考慮すると、計算が複雑になるため、包除原理を使うのが良い。
全グループ分け数 - (男子のみのグループがある場合 + 女子のみのグループがある場合) + (男子のみのグループと女子のみのグループがある場合)
まず、7人を3グループに分ける組み合わせの総数は301通り。
男子のみのグループがある場合、
男子4人, 女子3人
4人が1つのグループになる場合 -> 3人を2つのグループに分ける -> 3C1 = 3通り
3人が1つのグループになる場合 -> 4人を2つのグループに分ける -> 4C1 + 4C2/2 = 4 + 3 = 7通り
女子のみのグループがある場合、
女子3人, 男子4人
3人が1つのグループになる場合 -> 4人を2つのグループに分ける -> 4C1 + 4C2/2 = 4 + 3 = 7通り
2人が1つのグループになる場合 -> 5人を2つのグループに分ける -> 5C1 + 5C2/2 = 5 + 5 = 10通り
全組み合わせ数は、
男子1人, 女子1人, 男子1人, 女子1人, 男子1人, 女子1人, 男子1人
という最小構成で、この構成では、3グループに必ず男女が含まれる。
上記より、全組み合わせ数は90通りとなる。
3. 最終的な答え
90通り