5人の男子A, B, C, D, Eと3人の女子P, Q, Rがいる。男子と女子が少なくとも1人ずつ入るように、4人と4人の2つのグループを作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

5人の男子A, B, C, D, Eと3人の女子P, Q, Rがいる。男子と女子が少なくとも1人ずつ入るように、4人と4人の2つのグループを作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、全部で8人の中から4人を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは$_{8}C_{4}$で求められます。

$_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$通り

次に、男子だけ4人を選んでグループを作る場合と、女子だけ4人を選んでグループを作る場合を考えます。

男子だけ4人を選んでグループを作る場合の数は、$_{5}C_{4} = 5$通りです。

女子だけ4人を選んでグループを作ることは、女子が3人しかいないので不可能です。したがって0通りです。

問題文の条件である「男子と女子が少なくとも1人ずつ入る」を満たさない場合の数を、全体の組み合わせの数から引きます。

しかし、4人と4人のグループ分けなので、あるグループのメンバーが決まれば、もう片方のグループのメンバーも自動的に決まります。

そのため、グループ分けの数は単純に半分になります。

ここで、すべての組み合わせから、条件を満たさない組み合わせを引くという考え方を利用します。

考えられるグループ分けの組み合わせは、男子の数と女子の数で分類すると、以下のようになります。

(男子,女子) = (1,3),(2,2),(3,1)という分け方になります。

(1,3)のケース：男子1人、女子3人を選ぶ。残りのグループは男子4人となる。

$_{5}C_{1} \times _{3}C_{3} = 5 \times 1 = 5$通り

(2,2)のケース：男子2人、女子2人を選ぶ。残りのグループは男子3人、女子1人となる。

$_{5}C_{2} \times _{3}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 10 \times 3 = 30$通り

(3,1)のケース：男子3人、女子1人を選ぶ。残りのグループは男子2人、女子2人となる。

$_{5}C_{3} \times _{3}C_{1} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 3 = 10 \times 3 = 30$通り

それぞれの組み合わせの数を足し合わせます。

$5+30+30 = 65$通り

ただし、各組み合わせは2つのグループの構成を表しており、グループの区別はないため、(2,2)の組み合わせは2回カウントされているため、2で割る必要があります。

(1,3)のケースのグループ分けと(3,1)のケースのグループ分けは重複がないため、単純に足し合わせればよいです。

ここで、$A$グループの構成を考えて、$B$グループは$A$グループを選んだ後の残りから構成されるとします。

$A$グループが男子4人だけの場合、$_{5}C_{4} = 5$通り

$A$グループが女子4人だけの場合、$_{3}C_{4} = 0$通り

全組み合わせ数から男子のみ、女子のみのグループ分けを引きます。

また、グループ分けの区別がないので2で割ります。

$\frac{_{8}C_{4} - _{5}C_{4} - _{3}C_{4}}{2} = \frac{70 - 5 - 0}{2} = \frac{65}{2} = 32.5$となり、整数にならないため、この考え方は間違いです。

1グループに男子と女子がそれぞれ少なくとも1人ずつ含まれるように分けるので、一方のグループに男子1人、女子3人。または男子2人、女子2人。または男子3人、女子1人となる。

(i) 男子1人、女子3人を選ぶ場合: $_{5}C_{1} \times _{3}C_{3} = 5 \times 1 = 5$ 通り

(ii) 男子2人、女子2人を選ぶ場合: $_{5}C_{2} \times _{3}C_{2} = 10 \times 3 = 30$ 通り

(iii) 男子3人、女子1人を選ぶ場合: $_{5}C_{3} \times _{3}C_{1} = 10 \times 3 = 30$ 通り

これらを合計すると$5 + 30 + 30 = 65$通りとなる。

ただし、2つのグループに区別はないので、(i)と(iii)の場合は組み合わせが重複してカウントされていないが、(ii)の場合は重複してカウントされているので、2で割らないといけない。しかし、上記ではそれぞれのケースでAグループを選んだ時にBグループの構成が一意に定まるので、$65$が答えである。

3. 最終的な答え

65通り