5人の男子A, B, C, D, Eと4人の女子P, Q, R, Sがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように4つのグループを作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

5人の男子A, B, C, D, Eと4人の女子P, Q, R, Sがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように4つのグループを作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、9人から4つのグループを作る総数を考えます。

4つのグループを作るには、グループの人数配分を考える必要があります。条件より、各グループに少なくとも1人ずつ入る必要があります。9人を4つのグループに分ける人数配分は以下の2パターンが考えられます。

* パターン1：(3, 2, 2, 2)

* パターン2：(4, 2, 2, 1)

* パターン3：(3, 3, 2, 1)

* パターン4：(5, 1, 1, 2)

* パターン5：(4, 3, 1, 1)

しかし、男子と女子が少なくとも1人ずつ入るように4つのグループを作るという条件があるので、上記のような単純なグループ分けでは解けません。したがって、男子と女子を分けて考える必要があります。

女子は4人なので、各グループに女子が1人ずつ割り当てられます。そして、残りの5人の男子をどのように4つのグループに割り振るかを考えます。

男子だけでグループができてしまう場合があるので、それを除外します。

* パターン1：(2, 1, 1, 1)　男子の人数配分

5人を2人、1人、1人、1人のグループに分ける。

まず5人から2人を選ぶ：$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$ 通り

残りの3人から1人を選ぶ：$_3C_1 = 3$ 通り

残りの2人から1人を選ぶ：$_2C_1 = 2$ 通り

残りの1人から1人を選ぶ：$_1C_1 = 1$ 通り

ただし、1人のグループが3つあるので、3!で割る必要がある。

よって、10 \* 3 \* 2 \* 1 / 3! = 10 通り

このグループ分けで4つのグループを作る場合、各グループに女子が1人ずつ入るので、男子のグループ分け \* 4! = 10 \* 24 = 240通り。

しかし、これは男子だけでグループができている場合を含んでいる。

男子だけでグループが出来る場合を考える。例えば、男子2人のグループと、残りの男子3人がそれぞれ一人ずつのグループになる場合。

この場合、女子は必ず1人ずつ各グループに入っているので、条件を満たす。

ここで、包除原理を使うことを考えます。全体から条件を満たさない場合を引くという考え方です。しかし、複雑になるため、直接計算する方法を考えます。

各グループに少なくとも男子1人、女子1人が入るように分ける場合を考えます。

女子は各グループに1人ずつ入るので、男子のグループ分けを考えれば良いです。男子の分け方は以下のようになります。

男子をa, b, c, dの4つのグループに分けることを考えます。男子5人のグループ分けは以下の通りです。

4グループに分ける方法は、5人を(2, 1, 1, 1)に分ける場合のみです。

(2, 1, 1, 1)の場合、分け方は$\frac{5C_2 \times 3C_1 \times 2C_1 \times 1C_1}{3!} = 10$ 通り

次に、女子4人を4つのグループに入れる方法は1通りです。

したがって、グループの分け方は$10 \times 4! = 240$通り

最終的な答え

240