A, B, C, D, E の 5 人を 3 つのグループに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の 5 人を 3 つのグループに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

5人を3つのグループに分ける方法を考えます。グループの人数構成は以下のいずれかになります。

* (1人, 1人, 3人)

* (1人, 2人, 2人)

(1人, 1人, 3人)の場合:

まず、3人のグループを選ぶ方法が ${}_5 C_3$ 通りあります。残りの2人から1人ずつ選んでそれぞれのグループに入れる方法は ${}_2 C_1$ 通りあります。しかし、1人のグループの区別はないため、2!で割る必要があります。よって、

$\frac{{}_5 C_3 \times {}_2 C_1 \times {}_1 C_1}{2!} = \frac{10 \times 2 \times 1}{2} = 10$

(1人, 2人, 2人)の場合:

まず、1人のグループを選ぶ方法が ${}_5 C_1$ 通りあります。残りの4人から2人のグループを選ぶ方法が ${}_4 C_2$ 通りあります。さらに、残りの2人から2人のグループを選ぶ方法が ${}_2 C_2 = 1$通りあります。2人のグループの区別はないため、2!で割る必要があります。よって、

$\frac{{}_5 C_1 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2}{2!} = \frac{5 \times 6 \times 1}{2} = 15$

これらを合計します。

3. 最終的な答え

$10 + 15 = 25$

25 通り