赤球7個と白球5個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出すとき、赤球と白球がともに取り出される確率を求めます。

1. 問題の内容

赤球7個と白球5個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出すとき、赤球と白球がともに取り出される確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、3個の球の取り出し方の総数を求めます。

これは、12個の球から3個を選ぶ組み合わせの数なので、$_{12}C_3$ で計算できます。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

次に、赤球と白球がともに取り出される場合の数を求めます。

これは、(赤2個、白1個) の場合と (赤1個、白2個) の場合の数を足し合わせることで求められます。

(赤2個、白1個) の場合：

赤球7個から2個を選ぶ組み合わせの数は $_{7}C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

白球5個から1個を選ぶ組み合わせの数は $_{5}C_1 = 5$

したがって、(赤2個、白1個) の場合の数は $21 \times 5 = 105$

(赤1個、白2個) の場合：

赤球7個から1個を選ぶ組み合わせの数は $_{7}C_1 = 7$

白球5個から2個を選ぶ組み合わせの数は $_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、(赤1個、白2個) の場合の数は $7 \times 10 = 70$

赤球と白球がともに取り出される場合の数は $105 + 70 = 175$

求める確率は、赤球と白球がともに取り出される場合の数を、3個の球の取り出し方の総数で割ることで求められます。

確率 = $\frac{175}{220} = \frac{35 \times 5}{44 \times 5} = \frac{35}{44}$

3. 最終的な答え

$\frac{35}{44}$