袋の中に白球が9個、黒球が5個入っている。この袋から同時に5個の球を取り出すとき、白球が3個、黒球が2個取り出される確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白球が9個、黒球が5個入っている。この袋から同時に5個の球を取り出すとき、白球が3個、黒球が2個取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全事象の数を求める。これは、14個の球から5個を選ぶ組み合わせの数なので、$_{14}C_5$となる。

$_{14}C_5 = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 11 = 2002$

次に、白球が3個、黒球が2個取り出される場合の数を求める。

白球3個は、9個の白球から3個選ぶ組み合わせの数なので、$_{9}C_3$となる。

黒球2個は、5個の黒球から2個選ぶ組み合わせの数なので、$_{5}C_2$となる。

$_{9}C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、白球が3個、黒球が2個取り出される場合の数は、$_{9}C_3 \times _{5}C_2 = 84 \times 10 = 840$となる。

求める確率は、$\frac{白球が3個、黒球が2個取り出される場合の数}{全事象の数}$であるから、$\frac{840}{2002}$となる。

これを約分する。

$\frac{840}{2002} = \frac{420}{1001} = \frac{60}{143}$

3. 最終的な答え

$\frac{60}{143}$