4人の男子A, B, C, Dと3人の女子P, Q, Rがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように3つのグループを作る方法は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

4人の男子A, B, C, Dと3人の女子P, Q, Rがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように3つのグループを作る方法は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、7人 (4人の男子と3人の女子) を3つのグループに分ける分け方を考えます。グループ分けには、次の3つのパターンが考えられます。

* (1人, 1人, 5人)

* (1人, 2人, 4人)

* (2人, 2人, 3人)

しかし、問題文の条件より、どのグループにも男子と女子が少なくとも1人ずつ含まれていなければなりません。これを考慮して、3つのグループへの分け方を検討します。

3人の女子をまず3つのグループに分けることを考えます。各グループに少なくとも1人ずつの男子が含まれている必要があるため、女子の分け方を先に考えるのが効率的です。3人の女子を3つのグループに分けるパターンは以下のいずれかです。

(1, 1, 1)

次に、4人の男子を3つのグループに分けます。各グループに少なくとも1人の男子が含まれている必要があります。

4人の男子を3つのグループに分けるパターンは以下の2パターンです。

(1, 1, 2)

(1, 2, 1)

(2, 1, 1)

1. 女子のグループ分け: (1, 1, 1)

女子3人を3グループに分ける方法は、$3! = 6$ 通りです。

2. 男子のグループ分け: (1, 1, 2)

男子4人を(1, 1, 2)に分ける方法は、${}_4C_2 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 / 2! \times 3!$。最初に2人を選ぶ組み合わせが${}_4C_2 = 6$通り。次に残りの2人から1人を選ぶので${}_2C_1 = 2$通り。さらに残り1人を選ぶので${}_1C_1=1$通り。これを2グループの順番が区別できないので $2!$で割り、3グループの並び順を考慮して $3!=6$を掛ける。

$=6 * 2 / 2 *6 = 36$

上記を合計すると、$36$通り。

最終的な答えを出すには、女子の分け方と男子の分け方を掛け合わせます。

$6 \times 36 = 216$通り

3. 最終的な答え

216通り