6人の男子A, B, C, D, E, Fと3人の女子P, Q, Rがいる。男子と女子が少なくとも1人ずつ入るように3人、3人、3人の3つのグループを作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

6人の男子A, B, C, D, E, Fと3人の女子P, Q, Rがいる。男子と女子が少なくとも1人ずつ入るように3人、3人、3人の3つのグループを作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、全体の場合の数を計算します。9人から3人を選ぶ組み合わせを3回行い、グループの区別をなくすために3!で割ります。

全体の場合の数 = $\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = 280$ 通り

次に、条件を満たさない場合を考えます。

これは、すべてのグループが男子のみ、または女子のみで構成される場合です。

女子のみのグループはあり得ません（3人しかいないので）。

男子のみのグループになる場合を考えます。

3人、3人、0人のグループを作るしかありません。これは問題文の条件に反します。

よって、男子のみのグループになる場合もありません。

したがって、条件を満たさない場合の数は0通りです。

しかし、各グループに必ず男女が含まれるようにする必要があります。

まず、3つのグループそれぞれに女子を1人ずつ割り振ります。これは、3人の女子を3つのグループに割り振る方法なので、$3! = 6$ 通りです。

次に、残りの6人の男子を3つのグループに2人ずつ割り振ります。これは、${}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2$ で計算できます。グループの区別をなくすために $3!$ で割ります。ただし今回は、グループにすでに女子がいるため、区別する必要はありません。

${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_2C_2 = 1$

よって、$15 \times 6 \times 1 = 90$ 通りです。

したがって、条件を満たすグループ分けの総数は、$6 \times 90 = 540$ 通りです。

ただし、上記の解法は誤りです。

正しくは以下のように考えます。

まず、女子3人を3つのグループに1人ずつ割り当てる方法は $3! = 6$ 通り。

残りの男子6人を各グループに2人ずつ割り当てる組み合わせを考えます。

男子6人を3人、3人に分ける方法は ${}_6C_3 = 20$ 通り。

3人、3人に分けたものを2グループに分けるわけですが、まず一方のグループに3人を入れる方法は2通り（2グループあるため）。

残りのグループには残りの3人が入ります。

よって、$6 \times 20 = 120$ となりそうですが、グループに区別はないので2で割ります。つまり60通り。

グループ分けの総数は $3! \times \frac{{}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{2} = 6 \times \frac{15 \times 6 \times 1}{2}$

$6 \times \frac{90}{2} = 6 \times 45 = 270$

各グループに少なくとも1人の女子が入るようにする必要がある。

まず、女子3人を各グループに1人ずつ割り振る方法は $3! = 6$通り。

残りの男子6人を、各グループに2人ずつ割り振る。

これは、${}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2 = 15 \times 6 \times 1 = 90$通り。

ただし、３つのグループには区別がないので、2で割る必要がある。これは正しくない。

したがって、 $6 \times 90 = 540$ 通り。

$6 \times {6 \choose 2} \times {4 \choose 2} = 6 \times 15 \times 6= 540$

3. 最終的な答え

540通り