9個の白球と5個の黒球が入っている袋から、同時に5個の球を取り出すとき、白球が3個、黒球が2個取り出される確率を求めよ。

1. 問題の内容

9個の白球と5個の黒球が入っている袋から、同時に5個の球を取り出すとき、白球が3個、黒球が2個取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋から5個の球を取り出す場合の総数を計算する。これは、14個の球から5個を選ぶ組み合わせなので、$_{14}C_5$で表される。

次に、白球3個と黒球2個を取り出す場合の数を計算する。これは、9個の白球から3個を選ぶ組み合わせ（$_{9}C_3$）と、5個の黒球から2個を選ぶ組み合わせ（$_{5}C_2$）の積で表される。

したがって、求める確率は、白球3個と黒球2個を取り出す場合の数（$_{9}C_3 \times _{5}C_2$）を、5個の球を取り出す場合の総数（$_{14}C_5$）で割ったものになる。

$_{14}C_5 = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 11 = 2002$

$_{9}C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

確率は、 $\frac{_{9}C_3 \times _{5}C_2}{_{14}C_5} = \frac{84 \times 10}{2002} = \frac{840}{2002} = \frac{420}{1001} = \frac{60}{143}$

3. 最終的な答え

$\frac{60}{143}$