赤球7個、白球5個、青球3個が入っている袋から3個の球を取り出すとき、3個とも同じ色の球が取り出される確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤球7個、白球5個、青球3個が入っている袋から3個の球を取り出すとき、3個とも同じ色の球が取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋に入っている球の総数を計算します。

球の総数 = 7 (赤) + 5 (白) + 3 (青) = 15個

次に、3個の球を取り出す全ての場合の数を計算します。これは15個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{15}C_3$で計算できます。

$_{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

次に、3個とも同じ色の球を取り出す場合の数を計算します。

- 3個とも赤球の場合: $_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

- 3個とも白球の場合: $_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

- 3個とも青球の場合: $_{3}C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$

3個とも同じ色の球を取り出す場合の総数 = 35 + 10 + 1 = 46

したがって、3個とも同じ色の球を取り出す確率は、

$\frac{3個とも同じ色の球を取り出す場合の総数}{3個の球を取り出す全ての場合の数} = \frac{46}{455}$

3. 最終的な答え

$\frac{46}{455}$