赤球7個、白球5個、青球3個が入っている袋から3個の球を取り出すとき、取り出した球の色が2色以下である確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤球7個、白球5個、青球3個が入っている袋から3個の球を取り出すとき、取り出した球の色が2色以下である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全事象の数、つまり15個の球から3個を取り出す場合の数を計算します。これは組み合わせで表され、$_{15}C_3$ で計算できます。

$_{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

次に、取り出した球の色が3色になる場合を考えます。これは、赤、白、青をそれぞれ1個ずつ取り出す場合のみなので、

$7 \times 5 \times 3 = 105$ 通りです。

取り出した球の色が2色以下である確率を求めるには、1から「取り出した球の色が3色である確率」を引けばよいです。つまり、

$1 - \frac{105}{455}$ を計算します。

$1 - \frac{105}{455} = \frac{455 - 105}{455} = \frac{350}{455}$

これを約分します。

$\frac{350}{455} = \frac{50 \times 7}{65 \times 7} = \frac{50}{65} = \frac{10 \times 5}{13 \times 5} = \frac{10}{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{13}$